Question

定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离；现已知抛物线C：x²=y-a到直线l：2x-y=0的距离等于

5

，则实数a的值为

6

．

Answer 1

分析：依题意，可作出抛物线C：x²=y-a与直线l：2x-y=0的图象，利用方程思想，通过判别式为0即可求得实数a的值．

解答：解：∵抛物线C：x²=y-a到直线l：2x-y=0的距离等于

5

，作图如下：
∴由图知a＞0，
将直线y=2x向上平移b（b＞0）个单位，与抛物线C：y=x²+a相切，
则两平行直线y=2x与y=2x+b之间的距离为d=

|b-0|

22+(-1)2

=

5

（b＞0），
∴b=5．
∵直线y=2x+5与抛物线C：y=x²+a相切，
联立得：x²+a=2x+5，即x²-2x+a-5=0，
∴△=4-4（a-5）=0，
∴a=6．
故答案为：6．

点评：本题考查直线与抛物线的相切，考查转化思想与方程思想的综合应用，属于中档题．