Question

9．各项均为正数的数列{a_n}满足：na²_n+1=（n+1）a²_n+a_na_n+1，且a₃=$\frac{3π}{4}$，若S_n为数列{a_n}的前n项和，则tanS₂₀₁₅等于（　　）

• A． -$\sqrt{3}$
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 各项均为正数的数列{a_n}满足：na²_n+1=（n+1）a²_n+a_na_n+1，可得[（n+1）a_n-na_n+1]（a_n+1+a_n）=0，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{n}{n+1}$，利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：各项均为正数的数列{a_n}满足：na²_n+1=（n+1）a²_n+a_na_n+1，
∴[（n+1）a_n-na_n+1]（a_n+1+a_n）=0，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{n}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•a₃
=$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}•\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{4}{3}$$•\frac{3π}{4}$
=$\frac{n}{4}$π．
∴S₂₀₁₅=$\frac{π}{4}$×$\frac{2015×（2015+1）}{2}$π=252×2015π．
∴tanS₂₀₁₅=0．
故选：C．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”、三角函数的周期性、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．