精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
我们把离心率为e=
5
+1
2
的双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图给出以下几个说法中正确的是(  )
①双曲线x2-
2y2
5
+1
=1是黄金双曲线;
②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
A、①②B、①③
C、①③④D、①②③④
考点:双曲线的简单性质
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:利用双曲线的简单性质分别求出离心率,再利用黄金双曲线的定义求解.
解答: 解:①双曲线x2-
2y2
5
+1
=1中,
∵e=
1+
5
+1
2
1
=
5
+1
2

∴双曲线x2-
2y2
5
+1
=1是黄金双曲线,故①正确;
②b2=ac,则e=
c
a
=
a2+ac
a
=
1+e

∴e2-e-1=0,解得e=
5
+1
2
,或e=
5
-1
2
(舍),
∴该双曲线是黄金双曲线,故②正确;
③如图,F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,
B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,
∴B1F12+B1A22=A2F12,即b2+2c2=(a+c)2
整理,得b2=ac,由②知该双曲线是黄金双曲线,故③正确;
④如图,MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,
∴NF2=OF2,∴
b2
a
=c,∴b2=ac,
由②知该双曲线是黄金双曲线,故④正确.
故选D.
点评:本题考查黄金双曲线的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线的性质的灵活运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,
a
 
1
=
1
4
,an=2-
1
an-1
(n≥2,n∈N*)
.若数列{bn}满足bn=
1
an-1
(n∈N+)

(1)证明:数列{bn}是等差数列,并写出{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数y=f(x)是定义在R上的奇函数且y=f(x+1)也是奇函数,若f(3)=0,则函数y=f(x)在区间(0,8)内的零点个数至少有(  )
A、4B、5C、6D、7

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆A:(x+1)2+y2=1和圆B:(x-1)2+y2=9,求与圆A外切而内切于圆B的动圆圆心P的轨迹方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C,使
AC
BC
=0,则双曲线离心率e的取值范围是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设a,b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题:
①如果a∥α,b∥α,那么a∥b;            
②如果a∥β,a?α,b?β,那么a∥b;
③如果 α⊥β,a?α,那么 a⊥β;      
④如果a⊥β,a∥b,b?α,那么α⊥β
其中正确命题的序号是(  )
A、①B、②C、③D、④

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )
A、
3
B、
3
C、4π
D、8π

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在长度为3的线段AB上任取一点C,那么线段AC的长度小于2的概率
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设i是虚数单位,复数z满足(2+i)•z=5,则|z|=
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案