Question

已知圆M的圆心在直线x-2y+4=0上，且与x轴交于两点A（-5，0），B（1，0）．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；
（Ⅲ）已知D（-3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）根据圆的性质，可得圆心M为AB垂直平分线与直线x-2y+4=0的交点．因此联解两直线的方程，得到圆心M的坐标，由两点的距离公式算出半径r=

10

，即可得到圆M的方程；
（II）由于点C是圆M上的点，所以过点C的圆M的切线与CM垂直．因此利用直线的斜率公式算出CM的斜率，从而得到切线的斜率k=-3，根据直线方程的点斜式列式，化简即得所求切线的方程；
（III）设Q（x，y）、P（x₀，y₀），根据平行四边形ADQP的对角线互相平分，利用线段的中点坐标公式列式，解出P的坐标为（x-2，y-4），代入圆M的方程化简可得x²+（y-5）²=10．最后根据构成平行四边形的条件，去除两个杂点（-1，8）、（-3，4），即可得到顶点Q的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）∵圆M与x轴交于两点A（-5，0）、B（1，0），
∴圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=-2上．
由

x=-2 x+2y-4=0

，解得

x=-2 y=1.

，即圆心M的坐标为（-2，1）．
∴半径r=|BM|=

(-2-1)2+(1-0)2

=

10

，
因此，圆M的方程为（x+2）²+（y-1）²=10．
（Ⅱ）∵点C（1，2）满足（1+2）²+（2-1）²=10，
∴点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直．
∵CM的斜率k_CM=

1

3

，∴过点C的切线斜率为k=

-1

kCM

=-3，
由此可得过点C（1，2）的圆M的切线方程为y-2=-3（x-1），化简得3x+y-5=0．
（Ⅲ）设Q（x，y）、P（x₀，y₀），
∵四边形ADQP为平行四边形，∴对角线AQ、PD互相平分，即AQ的中点也是PD的中点．
即

-5+x 2 = -3+x0 2 y 2 = 4+y0 2 .

，解得

x0=x-2 y0=y-4.

将P（x-2，y-4）代入圆M的方程，可得（x-2+2）²+（y-4-1）²=10，即x²+（y-5）²=10，
∴顶点Q在圆x²+（y-5）²=10上运动，
∵圆x²+（y-5）²=10交直线AD于点（-1，8）和（-3，4），
当Q与这两个点重合时，不能构成平行四边形ADQP，
∴顶点Q的轨迹方程为x²+（y-5）²=10，（点（-1，8）、（-3，4）除外）．

点评：本题给出圆M满足的条件，求圆的方程并依此求动点的轨迹方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、线段的中点坐标公式和动点轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．