Question

（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？
（2）黑暗中从3双尺码不同的鞋子中任意摸出3只，求摸出3只中有配成一双（事件A）的概率．
（3）利用二项式定理求143²⁰¹³被12除所得的余数．

Answer 1

分析：（1）正方体一共有6个表面，6个对角面，以这些12个面为底面，以剩下的其他4个顶点中的一个为顶点，即可得到所有的四棱锥．
（2）利用组合的知识容易求出从3双尺码不同的鞋子中任意摸出3只的方法，而摸出3只中有配成一双的事件A可以这样去取，先从3双鞋子中任取一双，然后在从剩下的4只鞋子中任取一只即可；
（3）把143写成12²-1，再利用二项式定理展开即可得出．

解答：解（1）∵正方体一共有6个表面，6个对角面，以这些面为底面，以剩下的其他4个顶点中的一个为顶点，组成四棱锥，即12×4=48个．
（2）从3双尺码不同的鞋子中任意摸出3只共有

C

3 6

种方法，
摸出3只中有配成一双的事件A可以这样去取，先从3双鞋子中任取一双，然后在从剩下的4只鞋子中任取一只可有

C

1 3

C

1 4

种方法，
因此P(A)=

C 1 3 C 1 4

C 3 6

=

3

5

．
（3）143²⁰¹³=（144-1）²⁰¹³=（12²-1）²⁰¹³
=

C

0 2013

(122)2013+

C

1 2013

(122)2012(-1)1+…+

C

2012 2013

(122)1(-1)2012+

C

2013 2013

(-1)2013=12M+

C

2013 2013

(-1)2013（M是整数）
=12M-1=12（M-1）+11．
所以143²⁰¹³被12除所得的余数为11．

点评：正确分析题意并熟练掌握正方体和四棱锥的组成及性质、组合的计算公式、二项式定理是解题的关键．