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已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数(x1,y2)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”,给出下列六个集合:
①M={(x,y)|y=-
1x
}
②M={(x,y)|y=x2-1}
③M={(x,y)|y=ex-2}
④M={(x,y)|y=cosx}
⑤={(x,y)|y=2+sinx}
⑥M={(x,y)|y=lnx},
其中是“垂直对点集”的序号是
 
(写出所有是“垂直对点集”的序号).
分析:对于①,利用x1•x2+
1
x1•x2
=0无实数解,判断其正误即可.
对于③,画出函数y=ex-2图象,利用图象说明函数满足“垂直对点集”的定义,即可判断正误;
对于④,画出函数y=cosx图象,利用图象说明函数满足“垂直对点集”的定义,即可判断正误;
对于⑥,取一个特殊点(1,0)说明不满足“垂直对点集”定义.
解答:解:对于①,注意到x1•x2+
1
x1•x2
∈(-∞,-2]∪[2,+∞),故x1•x2+
1
x1•x2
=0,即x1x2+y1y2=0无实数解,因此①不是“垂直对点集”; 
对于②,如下图,注意到过原点任意作一条直线与曲线y=x2-1相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=x2-1相交,因此②是“垂直对点集”;
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对于③,如下图,注意到过原点任意作一条直线与曲线y=ex-2相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=ex-2相交,因此③是“垂直对点集”;
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对于④,如下图,注意到过原点任意作一条直线与曲线y=cosx相交,过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=cosx相交,因此④是“垂直对点集”;
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对于⑤,注意到对于点(0,2)不存在(x2,y2)∈M,使得0×x2+2×2+sinx2=0,因为sinx2=-2与正弦函数的值域为[-1,1],因此⑤不是“垂直对点集”.
对于⑥,注意到对于点(1,0),不存在(x2,y2)∈M,使得1×x2+0×lnx2=0,因为x2=0与真数的限制条件x2>0矛盾,因此⑥不是“垂直对点集”.
故答案为:②③④
点评:点评:本题考查了命题真假的判断与应用,考查了元素与集合的关系,考查了数形结合的思想,解答的关键是对新定义的理解,是中档题.
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①若f1(x)=
1,x≥0
-1,x<0
则f1(x)∈M;
②若f2(x)=2x,则f2(x)∈M;
③若f3(x)∈M,则y=f3(x)的图象关于原点对称;
④若f4(x)∈M则对于任意不等的实数x1,x2,总有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
<0成立.
其中所有正确命题的序号是
②③
②③

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1
x
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(2012•武昌区模拟)已知集合M={y|y=x+
1
x-1
,x∈R,x≠1},集合N={x|
x
2
 
-2x-3≤0}
,则(  )

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