Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈AA₁，F是BC的中点，截面B₁EC⊥侧面BC₁，
求证：AF∥平面B₁EC．

Answer 1

证明：在平面B₁EC中，过E作EO⊥CB₁于O，连接
FO并延长，交C₁B₁于G，
因为平面B₁EC⊥侧面BC₁，所以EO⊥平面BC₁，
又因为正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，F是BC的中点，
所以AF⊥平面BC₁，所以AF∥EO，
又EO在平面B₁EC内，所以AF∥平面B₁EC．
分析：欲证AF∥平面B₁EC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面B₁EC内一直线平行，在平面B₁EC中，过E作EO⊥CB₁于O，连接FO并延长，交C₁B₁于G，根据面面垂直的性质可知EO⊥平面BC₁，而AF⊥平面BC₁，根据线面垂直的性质可知AF∥EO，又EO在平面B₁EC内，满足定理所需条件．
点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．