已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的焦距为4,且与椭圆x2+
=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.
(1)+
=1;(2)(-∞,
).
解析试题分析:(1)求出已知椭圆离心率,结合焦距2c=4,可得a,b;(2)联立方程组,依据点在圆内部列出关系式求解.
试题解析:(1)∵椭圆C的焦距为4,∴c=2.
又∵椭圆x2+=1的离心率为
,∴椭圆C的离心率e=
=
=
,∴a=2
,b=2.
∴椭圆C的标准方程为+
=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得(1+2k2)x2+4kx-6=0,∴x1+x2=
,x1x2=
.
由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),
∵右焦点F在圆的内部,∴·
<0.∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0,
即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0.∴(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5
=(1+k2)·+(k-2)·
+5=
<0,∴k<
.
经检验,当k<时,直线l与椭圆C相交.∴直线l的斜率k的取值范围为(-∞,
).
考点:椭圆方程得确定、直线与圆及椭圆的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
以点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆C经过点(1,)。
(I)求椭圆C的方程;
(II)过P点分别以为斜率的直线分别交椭圆C于A,B,M,N,求证:
使得
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为
,离心率为
.若直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,以线段
为直径作圆
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若圆与
轴相切,求圆
被直线
截得的线段长.
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已知点的坐标分别是
、
,直线
相交于点
,且它们的斜率之积为
.
(1)求点轨迹
的方程;
(2)若过点的直线
与(1)中的轨迹
交于不同的两点
,试求
面积的取值范围(
为坐标原点).
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已知椭圆的长轴两端点分别为
,
是椭圆上的动点,以
为一边在
轴下方作矩形
,使
,
交
于点
,
交
于点
.
(Ⅰ)如图(1),若,且
为椭圆上顶点时,
的面积为12,点
到直线
的距离为
,求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图(2),若,试证明:
成等比数列.
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已知椭圆C:的离心率等于
,点P
在椭圆上。
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
两点,是否存在定直线
:
,使得
与
的交点
总在直线
上?若存在,求出一个满足条件的
值;若不存在,说明理由.
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设椭圆的离心率
,
是其左右焦点,点
是直线
(其中
)上一点,且直线
的倾斜角为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若 是椭圆
上两点,满足
,求
(
为坐标原点)面积的最小值.
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