Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0 ， 其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．

∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．

化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①

由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；

（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，②

即（x﹣2）2+y2=4．

由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，

∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，

∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，

①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，

∴1﹣a2=0，

∴a=1（a＞0）

【解析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．
【考点精析】利用参数方程的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程．