精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(满分16分)
设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.
(1)若数列的前项和为,证明:是“数列”.
(2)设是等差数列,其首项,公差,若是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列” ,使得成立.
(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
(1)首先,当时,,所以,所以对任意的是数列中的项,因此数列是“数列”.
(2)由题意,数列是“数列”,则存在,使,由于,又,则对一切正整数都成立,所以
(3)首先,若是常数),则数列项和为是数列中的第项,因此是“数列”,对任意的等差数列是公差),设,则,而数列都是“数列”,证毕.
【考点】(1)新定义与数列的项,(2)数列的项与整数的整除;(3)构造法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在数列中,,且前n项的算术平均数等于第n项的倍().
(1)写出此数列的前5项;
(2)归纳猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
已知数列满足.
(1)若,求的取值范围;
(2)若是等比数列,且,正整数的最小值,以及取最小值时相应的仅比;
(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)
已知首项都是1的两个数列),满足.
(1)令,求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知数列满足:(m为正整数),,则m所有可能的取值为________。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

定义:称为n个正数x1,x2,…,xn的“平均倒数”,若正项数列{cn}的前n项的“平均倒数”为,则数列{cn}的通项公式为cn=________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

是等差数列的前项和,且,则          

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如果等差数列中,,那么数列的前9项和为 (    )
A.27B.36C.54D.72

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

数列满足,则________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案