Question

【题目】已知曲线f（x）= （x＞0）上有一点列Pn（xn ， yn）（n∈N*），过点Pn在x轴上的射影是Qn（xn ， 0），且x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2．（n∈N*）
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）设四边形PnQnQn+1Pn+1的面积是Sn ， 求Sn；
（3）在（2）条件下，求证： + +…+ ＜4．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=1时，x1=22﹣1﹣2=1，

n≥2时，x1+x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣（n﹣1）﹣2，①

又x1+x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2，②

②﹣①得：xn=2n﹣1（n=1仍成立）

故xn=2n﹣1；

（2）解：∵ ，

∴ ，又 ， ，

故四边形PnQnQn+1Pn+1的面积为： ；

（3）证明：

，

∴ ．

【解析】（1）求出n=1时，x1=1；n≥2时，将n换为n﹣1，两式相减，即可得到所求通项公式；（2）运用点满足函数式，代入化简，求出梯形的底和高，由梯形的面积公式，化简可得；（3）求得： ，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得证．