Question

如图，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E满足＝λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

Answer 1

[，]．

如题图，以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．根据已知，设A(－c，0)，C，E(x₀，y₀)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由＝λ，即(x₀＋c，y₀)＝λ，得.不妨设双曲线的方程为＝1，则离心率e＝.由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝代入双曲线的方程得
由①式得－1，③
将③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－.由已知≤λ≤，所以≤1－≤，解之得≤e≤，所以双曲线的离心率的取值范围为[，]．