Question

设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱长都等于2，M是AB的中点．
（1）求异面直线A₁M与BC₁所成的角；（2）求四棱锥M-ACC₁A₁的体积．

Answer 1

（1）取A₁B₁中点N，连接BN、C₁N，则BN∥A₁M，∠NBC₁就是异面直线A₁M与BC₁所成的角．
因为，
由余弦定理可得 3=5+8-4 cos∠NBC₁ ，∴cos∠NBC₁=，
所以异面直线A₁M与BC₁所成的角大小为．
（2）作MP⊥AC于P，则MP⊥平面．
故四棱锥M-ACC₁A₁的体积．
分析：（1）取A₁B₁中点N，连接BN、C₁N，则BN∥A₁M，∠NBC₁就是异面直线A₁M与BC₁所成的角，由余弦定理求出
cos∠NBC₁的值，即可得到异面直线A₁M与BC₁所成的角大小．
（2）作MP⊥AC于P，则MP⊥平面，利用棱锥的体积求得结果．
点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，求棱锥的体积，找出异面直线所成的角，是解题的关键．