Question

9．已知数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{n}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ，求b_n的最小值．

Answer 1

分析 $\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{3n}{2n+2}$，对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{n+1}•（\frac{3}{2}）^{n+1}}{\frac{1}{n}•（\frac{3}{2}）^{n}}$=$\frac{3n}{2n+2}$，
3n-（2n+2）=n-2，
当n≤2时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$≤1，∴b₁＞b₂，单调递减；当n≥3时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$＞1，∴b_n＜b_n+1，单调递增．
b₂=$\frac{9}{8}$=b₃，
∴当n=2，3时，b_n的最小值为$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了数列的单调性、递推关系的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．