Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ展开式中偶数项二项式系数和比（a+b）²ⁿ展开式中奇数项二项式系数和小120，求：
（1）（

x

+

1

3 x

）ⁿ展开式中第三项的系数；   
（2）（a+b）²ⁿ展开式的中间项．

Answer 1

分析：（1）由题意可得2^n-1+120=2^2n-1，求得 n=4．可得（

x

+

1

3 x

）ⁿ展开式中第三项为 T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2，运算求得结果．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的开式的中间项为T₅=

C

4 8

•a⁴•b⁴，运算求得结果．

解答：解：（1）由题意可得2^n-1+120=2^2n-1，故有 （2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，故2ⁿ=16，解得 n=4．
故（

x

+

1

3 x

）ⁿ展开式中第三项为 T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2=

2

3

．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的开式的中间项为T₅=

C

4 8

•a⁴•b⁴=70a⁴b⁴．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．