【题目】在平面直角坐标系xoy中,设点F(1,0),直线l:x=﹣1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹的方程;
(2)记Q的轨迹的方程为E,过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M,N.求证:直线MN必过定点R(3,0).
【答案】
(1)解:依题意知,直线l的方程为:x=﹣1,设直线l与x轴交于点K(﹣1,0),由OK平行于直线l可得,
OR是△FPK的中位线,故点R是线段FP的中点.
又RQ⊥FP,∴RQ是线段FP的垂直平分线.∴|PQ|是点Q到直线l的距离.
∵点Q在线段FP的垂直平分线,∴|PQ|=|QF|.
故动点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为:y2=4x(x>0)
(2)解:设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN),直线AB的方程为y=k(x﹣1)
则 (1)﹣(2)得 ,即 ,
代入方程y=k(x﹣1),解得 . 所以点M的坐标为 .
同理可得:N的坐标为(2k2+1,﹣2k). 直线MN的斜率为 ,
方程为; ,整理得y(1﹣k2)=k(x﹣3),
显然,不论k为何值,(3,0)均满足方程,所以直线MN恒过定点R(3,0)
【解析】(1)由已知条件知,点R是线段FP的中点,RQ是线段FP的垂直平分线,点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,写出抛物线标准方程.(2)设出直线AB的方程,把A、B坐标代入抛物线方程,再利用中点公式求出点M的坐标,同理可得N的坐标,求出直线MN的斜率,得到直线MN的方程并化简,可看出直线MN过定点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.
(1)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算);
(2)现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)= ,其中 =(2cosx,﹣ sin2x), =(cosx,1),x∈R.
(1)求f(x)的周期及单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=﹣1,a= ,且向量 与 共线,求边长b和c的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知过抛物线焦点且倾斜角的直线与抛物线交于点 的面积为.
(I)求抛物线的方程;
(II)设是直线上的一个动点,过作抛物线的切线,切点分别为直线与直线轴的交点分别为点是以为圆心为半径的圆上任意两点,求最大时点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,且f(2x+1)=4g(x),f′(x)=g′(x),f(5)=30,求a,b,c,d的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 .
(1)求曲线 的普通方程;
(2)若点 在曲线 上,点 ,当点 在曲线 上运动时,求 中点 的轨迹方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某次数学测验共有10道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分,某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对,其余4道题无法确定正确选项,但这4道题中有2道能排除两个错误选项,另2题只能排除一个错误选项,于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答,且各题做答互不影响.
(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率;
(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于函数f(x)的定义域中任意的x1、x2(x1≠x2),有如下结论:
①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);
②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);
③ >0;
④f( )< .
当f(x)=2x时,上述结论中正确的有( )个.
A.3
B.2
C.1
D.0
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com