Question

9．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂₂=37，S₂₂=352．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n+3}•{a}_{n+4}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的求和公式即可求出a₁，再求出公差d，即可得到数列{a_n}的通项公式，
（2）根据裂项求和，即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵a₂₂=37，S₂₂=352，
∴S₂₂=$\frac{{（a}_{1}+{a}_{22}）×22}{2}$=352，
∴a₁=-5，
∴d=$\frac{{a}_{22}-{a}_{1}}{22-1}$=2
∴a_n=-5+2（n-1）=2n-7，
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+3}•{a}_{n+4}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的求和公式和裂项求和，属于中档题．