Question

对于函数f(x)=

1

3

|x|3-ax2+(2-a)|x|+b，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为

（1，2）

．

Answer 1

分析：由题意可知，f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）有三个不同的单调区间，利用其导函数与x正半轴有两交点即可求得a的取值范围．

解答：解：∵f（-x）=

1

3

|-x|³-a（-x）²+（2-a）|-x|+b=

1

3

|x|³-ax²+（2-a）|x|=f（x），
∴f（x）为偶函数，又f（x）有六个不同的单调区间，
∴当x＞0时，f（x）=

1

3

x³-ax²+（2-a）x+b有三个不同的单调区间，
∴f′（x）=x²-2ax+2-a与x正半轴有两交点，即x²-2ax+2-a=0有两异正根，
∴

△=4a2-4(2-a)＞0 2a＞0 2-a＞0

，解得1＜a＜2．
故答案为：1＜a＜2．

点评：本题考查带绝对值的函数，考查利用导数研究函数的单调性，明确当x＞0时，f（x）有三个不同的单调区间，是解决问题的关键，突出转化思想与函数与方程思想的考查运用，属于难题．