Question

已知函数是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的值域．
（3）当x∈≥2^x-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为函数为奇函数，则有f（-x）=-f（x），有f（0）=0得到a的值；
（2）设y=f（x）化简求出2^x＞0得到y的不等式，求出解集即可得到函数值域；
（3）将f（x）代入到不等式中化简得到一个函数f（u）=u²-（t+1）•u+t-2小于等于0，即要求出f（u）的函数值都小于等于0，根据题意列出不等式求出解集即可得到t的范围
解答：解：（1）∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，即f（-x）=-f（x）


∴-1＜y＜1，即f（x）的值域为（-1，1）．

即（2^x）²-（t+1）•2^x+t-2≤0，设2^x=u，∵x∈（0，1]，∴u∈（1，2]．
∴当x∈（0，1]时，tf（x）≥2^x-2恒成立，即为u∈（1，2]时u²-（t+1）•u+t-2≤0恒成立．
∴
点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，运用函数奇偶性的性质，会求函数值域的能力．