Question

下列结论一定恒成立的是（　　）

• A、sinx+

  1

  sinx

  ≥2(x≠kπ，k∈Z)
• B、若a，b为正实数，则

  2ab

  a+b

  ≥

  ab

• C、若a₁，a₂∈（0，1），则a₁a₂＞a₁+a₂-1
• D、

  a+3

  -

  a+1

  ≥

  a+2

  -

  a

Answer 1

分析：A．当sinx＜0时，sinx+

1

sinx

＜0，即可判断出是否正确；
B．由a，b为正实数，利用基本不等式可得

2ab

a+b

≤

2ab

2 ab

=

ab

，即可判断出是否正确；
C．由a₁，a₂∈（0，1），利用作差法可得a₁a₂-a₁-a₂+1=（1-a₁）（1-a₂）＞0，即可判断出是否正确．
D．利用(

a+2

+

a+1

)2-(

a+3

+

a

)2=2(

a2+3a+2

-

a2+3a

)＞0，
可得

a+2

+

a+1

＞

a+3

+

a

，可得

a+2

-

a

＞

a+3

-

a+1

．

解答：解：A．当sinx＜0时，sinx+

1

sinx

＜0，故不成立；
B．∵a，b为正实数，∴

2ab

a+b

≤

2ab

2 ab

=

ab

，故不成立；
C．∵a₁，a₂∈（0，1），∴a₁a₂-a₁-a₂+1=（1-a₁）（1-a₂）＞0，∴a₁a₂＞a₁+a₂-1成立．
D．∵(

a+2

+

a+1

)2-(

a+3

+

a

)2=2(

a2+3a+2

-

a2+3a

)＞0，
∴

a+2

+

a+1

＞

a+3

+

a

，∴

a+2

-

a

＞

a+3

-

a+1

．因此不成立．
综上可知：只有C正确．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式的应用、利用作差法比较两个数的大小方法，属于中档题．