Question

（2011•温州二模）函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的极值点是x₁，x₂，函数g（x）=x-alnx的极值点是x₀，若x₀+x₁+x₂＜2．
（I ）求实数a的取值范围；
（II）若存在实数a，使得对?x₃，x₄∈[1，m]，不等式f（x₃）≤g（x₄）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I ）由f′(x)=x2-ax+

2

27

，x₁，x₂是方程x2-ax+

2

27

=0的两个根，△=a2-

8

27

＞0，x₁+x₂=a，由g′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，（x＞0）．知当a≤0时，g′（x）＞0，函数无极值点．当a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；当x∈（a，+∞），g′（x）＞0，函数的极值点x₀=a．由此能求出实数a的取值范围．
（II）由

2 6

9

＜a＜1，知g（x）在[1，m]上为增函数，故g（x）_min=g（1）=1．导函数f′（x）的对称轴为x=

a

2

＜

1

2

，由此入手能够求出实数m的取值范围．

解答：解：（I ）∵函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的极值点是x₁，x₂，，
∴f′(x)=x2-ax+

2

27

，x₁，x₂是方程x2-ax+

2

27

=0的两个根，
∴△=a2-

8

27

＞0，x₁+x₂=a，
∵g（x）=x-alnx的极值点是x₀，
∴g′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，（x＞0）．
当a≤0时，g′（x）＞0，函数无极值点．
当a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；当x∈（a，+∞），g′（x）＞0，
函数的极值点x₀=a．
∵x₀+x₁+x₂＜2．
∴

2a＜2 △＞=a2-27＞0 a＞0

，
∴

2 6

9

＜a＜1．
（II）∵

2 6

9

＜a＜1，
∴g（x）在[1，m]上为增函数，
∴g（x）_min=g（1）=1．
导函数f′（x）的对称轴为x=

a

2

＜

1

2

，x1x2=

2

27

，
∴x₁，x₂都是小于1的正数，
∵f′（x）=（x-x₁）（x-x₂），令x₁＜x₂，
∵x∈(x2，+∞)，f′(x)＞0，
∴f（x）在[1，m]上为增函数，
∴f(x) max=f(m)=

1

3

m3-

1

2

am2+

2

27

m+1，
∴

1

3

m3-

1

2

am2+

2

27

m+1≤1，
即-27m²a+18m³+4m≤0，
∵m＞1，令h（a）在（

2 6

9

，1）为减函数，
∴h（1）＜0，即18m³-27m²+4m＜0，
解得

1

6

＜m＜

4

3

，
∴1＜m＜

4

3

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．