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若曲线f（x）=x•sinx+1在x=

处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于．

【答案】分析：先求出导函数f'（x），求出

的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为-1建立等式关系，解之即可求出a的值．
解答：解：f'（x）=sinx+xcosx，

，
即函数f（x）=xsinx+1在点

处的切线的斜率是1，
直线ax+2y+1=0的斜率是

，
所以

，解得a=2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．

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若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线：①x²-y²=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x²-|x|；④|x|+1=

4-y2

，存在自公切线的是（　　）

A、①③

B、①④

C、②③

D、②④

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（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=

f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N

f(x)，当x∈M且x∉N

g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x²+2x+2，设b_n为曲线y=h（x）在点（a_n，h（a_n））处切线的斜率；而{a_n}是等差数列，公差为1（n∈N^*），点P₁为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点P_n的坐标为（a_n，b_n）．求证：

|P1P2|2

|P1P3|2

+…+

|P1Pn|2

＜

；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：单选题