Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'．求证：A'D⊥EF
（2）当BE=BF=

1

4

BC时，求三棱锥A'-EFD的体积．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．结合EF?平面A'EF，得A'D⊥EF；
（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形，而A'D是三棱锥D-A'EF的高线，可以算出三棱锥D-A'EF的体积，即为三棱锥A'-DEF的体积．

解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，
∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．
∴A'D⊥平面A'EF．
又∵EF?平面A'EF，
∴A'D⊥EF．
（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形
故折叠后A′D=2，A′E=A′F=

3

2

，EF=

2

2

则cos∠EA′F=

( 3 2 )2+( 3 2 )2-12

2× 3 2 × 3 2

=

8

9

则sin∠EA′F=

17

9

故△EA′F的面积S_△EA′F=

1

2

•A′E•A′F•sin∠EA′F=

17

8

由（1）中A′D⊥平面A′EF
可得三棱锥A'-EFD的体积V=

1

3

×

17

8

×2=

17

12

．

点评：本题以正方形的翻折为载体，证明两直线异面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查空间垂直关系的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．