Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²+c²-a²=bc，由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA 可得cosA的值，从而求得A的值．
（Ⅱ）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为 sin(x+

π

6

)+

1

2

，根据A的值求得f（B）的最大值 以及B的值，由此可得△ABC的形状．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²+c²-a²=bc，由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA  可得cosA=

1

2

．
∵0＜A＜π，（或写成A是三角形内角）∴A=

π

3

．
（Ⅱ）f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin(x+

π

6

)+

1

2

，
∵A=

π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

．
∴当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，f（B）有最大值是

3

2

．
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，两角和的正弦公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．