Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足PA⊥PB，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若过点Q（1，2）的直线l与点P的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标为（x，y），由A和B的坐标分别表示出

PA

与

PB

的坐标，且由两向量垂直得到其数量积为0，故利用平面向量的数量积运算法则列出x与y的关系式，可得出动点P的运动轨迹；
（2）由第一问得出的动点P的运动轨迹为圆心为原点，半径为1的圆（除去与x轴的两交点），如图所示，由过点Q的直线l与点P的轨迹有且只有一个交点，分两种情况：①直线l与圆相切，也分两种情况：直线l的斜率存在时与不存在时，当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由Q的坐标表示出直线l的方程，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而确定出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为直线x=1，经检验，不合题意；②当直线l与圆相交时，根据图形可知直线l必然过A点，由A和Q的坐标得出此时直线l的方程，综上，得到满足题意的所有直线l的方程．

解答：解：（1）设P（x，y），
∵PA⊥PB，A（-1，0），B（1，0），
∴

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，-y），
∴由

PA

•

PB

=0，得（-1-x）•（1-x）+（-y）²=0，
即x²-1+y²=0，…（3分）
则动点P轨迹方程为x²+y²=1（y≠0）；…（4分）

（2）由直线l与点P的轨迹有且只有一个交点，
故分两种情况考虑：
①当直线l与圆相切时，
若斜率存在，设l：y=k（x-1）+2，
即kx-y+2-k=0由

|2-k|

1+k2

=1，得k=

3

4

，
此时直线l方程为：3x-4y+5=0，符合题意，…（7分）
若斜率不存在，此时方程：x=1，与圆x²+y²=1切于点B，不符合题意；…（8分）
②当直线l与圆相交时，直线QA与轨迹仅有一个交点，
∵A（-1，0），Q（1，2），
此时直线l的方程为：y=

2-0

1-(-1)

（x+1），即y=x+1，符合题意，
综上所述：所求直线l的方程为：3x-4y+5=0或x-y+1=0．…（10分）

点评：此题考查了圆的切线方程，以及点的轨迹方程，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，两向量垂直时数量积满足的关系，直线的点斜式方程、两点式方程，以及点到直线的距离公式，利用了分类讨论及数形结合的思想，其中根据题意得出动点P的运动轨迹为圆心为原点，半径为1的圆（除去与x轴的两交点）是解本题的关键．