Question

14．已知$\underset{lim}{x→0}[\frac{f（x）-2}{x}-\frac{sinx}{{x}^{2}}]$=1，试求$\underset{lim}{x→0}$f′（x）

Answer 1

分析 先通分，再由洛必达法则，得到$\underset{lim}{x→0}\frac{2{f}^{'}（x）}{2}$=1，由此能求出$\underset{lim}{x→0}$f′（x）的值．．

解答 解：∵$\underset{lim}{x→0}[\frac{f（x）-2}{x}-\frac{sinx}{{x}^{2}}]$=1，
∴由洛必达法则，得：
$\underset{lim}{x→0}[\frac{f（x）-2}{x}-\frac{sinx}{{x}^{2}}]$
=$\underset{lim}{x→0}\frac{xf（x）-2x-sinx}{{x}^{2}}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{xf（x）+f（x）-2-cosx}{2x}$
=$\underset{lim}{x→0}\frac{{f}^{'}（x）+{f}^{'}（x）+x{f}^{'}（x）-2+sinx}{2}$
=$\underset{lim}{x→0}\frac{2{f}^{'}（x）}{2}$=1，
∴$\underset{lim}{x→0}$f′（x）=1．

点评 本题考查极限的求法，是中档题，解题时要注意洛必达法则的合理运用．