【题目】如图,在四棱锥中,底面,,是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)若与平面所成角为,求的长.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】分析:第一问借助于三角形的中位线构造出一个平行四边形,得到线线平行的结论,之后借助于线面平行的判定定理得到结果;第二问借助于勾股定理得到线线垂直的关系,之后利用线线垂直,结合面面垂直的判定定理得到结果;第三问利用线面角的大小,结合题中的条件,把要求的线段放到一个三角形中,利用相关结论求得结果.
详解:(1) 证明:取PC的中点N,连接MN,ND,M,N为PB,PC中点 ,由已知,,四边形AMND为平行四边形,,平面,平面
平面
(2) 底面,底面,
底面为直角梯形,,
又,,,
,平面,平面
平面平面
(3)作于,平面平面且交线为
平面,连接为在平面上的投影,
,,底面且
,,又,与M重合
,M为PB 中点,三角形CBP为等腰三角形,
,,的长为
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【题目】定义:若对定义域内任意x,都有(a为正常数),则称函数为“a距”增函数.
(1)若,(0,),试判断是否为“1距”增函数,并说明理由;
(2)若,R是“a距”增函数,求a的取值范围;
(3)若,(﹣1,),其中kR,且为“2距”增函数,求的最小值.
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【题目】已知椭圆的一个焦点为,且离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为的直线过点F,且与椭圆交于两点,P为直线上的一点,
若为等边三角形,求直线的方程.
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【题目】某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
配方的频数分布表:
指标值分组 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106) | [106,110] |
频数 | 8 | 20 | 42 | 22 | 8 |
配方的频数分布表:
指标值分组 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106] | [106,110] |
频数 | 4 | 12 | 42 | 32 | 10 |
(1)分别估计用配方、配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值的关系为,估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率,并求用配方生产的上述件产品的平均利润.
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【题目】已知椭圆:的左焦点,离心率为,点为椭圆上任一点,且的最小值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线过椭圆的左焦点,与椭圆交于两点,且的面积为,求直线的方程.
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【题目】已知函数().
(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;
(2)当时,是否存在正实数,当(是自然对数底数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
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