Question

【题目】设，

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）求a的取值范围，使得对任意成立.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）利用导数先求出函数的单调区间，即得函数的最小值；

（2）构造函数设，求出函数的单调性，分类讨论即得解；

（3）根据（1）可得不等式等价于，解不等式即得解.

（1）由题设知，，

∴，令得，

当时，，故是的单调减区间.

当时，，故是的单调递增区间，

因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为.

（2），

设，则，

因此，在内单调递减，

当时，，即，

当时，，即.

当时，，即.

综上：当时， ；

当时， ；

当时，即.

（3）由（1）知的最小值为1，

∴，对任意成立等价于，即.

∴.