Question

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知可得sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，由sinA≠0，B∈（0，π）
可解得tanB，进而可求B的值．
（2）由余弦定理可得a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，解得ac≤9，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
∴sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，…（2分）
∵sinA≠0，B∈（0，π），
∴$tanB=\sqrt{3}$，…（3分）
∴$B=\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）由余弦定理∵b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，…（8分）
∴ac≤9，…（9分）
∴$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于中档题．