Question

15．（3）已知实数x，y，z满足x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范围；
（Ⅱ）若不等式|a-3|+$\frac{a}{2}$≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²，即-3≤x+2y+2z≤3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式$|a-3|+\frac{a}{2}≥x+2y+2z$对一切实数x，y，z恒成立，当且仅当$|a-3|+\frac{a}{2}≥3$成立，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²，即-3≤x+2y+2z≤3，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2}＞0\\{x^2}+{y^2}+{z^2}=1\end{array}\right.$即$x=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，$y=z=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$时，x+2y+2z取得最大值3．
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2}＜0\\{x^2}+{y^2}+{z^2}=1\end{array}\right.$即$x=-\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，$y=z=-\frac{2}{{\sqrt{5}}}$时，x+2y+2z取得最小值-3，
所以x+2y+2z的取值范围是[-3，3]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式$|a-3|+\frac{a}{2}≥x+2y+2z$对一切实数x，y，z恒成立，
当且仅当$|a-3|+\frac{a}{2}≥3$成立，即$\left\{\begin{array}{l}a＜3\\-\frac{a}{2}+3≥3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ \frac{3a}{2}-3≥3\end{array}\right.$解得a≤0，或a≥4，

点评 本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．