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已知圆C:(x-4)2+y2=4,圆D的圆心D在y轴上,且与圆C外切,圆D交y轴于A、B两点(A在B的上方),点P为(-3,0).
(1)若D(0,3),求∠APB的正切值;
(2)若D在y轴上运动,当D在何位置时,tan∠APB最大?并求出最大值;
(3)在x轴上是否存在点Q,使当D在y轴上运动时,∠AQB为定值?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)由已知中圆C:(x-4)2+y2=4,点D(0,3),可求出CD的长,进而求出圆D的半径,求出A,B两点坐标后,即可求得∠APB的正切值;
(2)设D点坐标为(0,t),可以求出对应的圆D的半径和A,B两点的坐标,进而求出∠APB正切的表达式,求出其最值后,再根据正切函数的单调性,求出∠APB的最大值;
(3)假设存在点Q(x,0),根据∠AQB是定值,我们构造关于x的方程,若方程有解,则存在这样的点,若方程无实根,则不存在这样的点.
解答:解:(1)由圆C:(x-4)2+y2=4,知C(4,0),圆C的半径为2.…(1分)
又圆C与圆D外切,D(0,3),
|CD|=
42+32
=5
,圆D的半径R=5-2=3,…(3分)
而圆D截y轴于(0,6)、(0,0)两点,不妨设A(0,6),B(0,0)
∴tan∠APB=
|OA|
|OP|
=
6
3
=2
. …(4分)
(2)当D在y轴上运动时,令D(0,t),|CD|=
t2+16

圆D的半径R=
t2+16
-2,A(0,t+R),B(0,t-R),…(5分)
∠APB=∠APC-∠BPC,
∴tan∠APB=
t+R
3
-
t-R
3
1+
t+R
3
t-R
3
…(7分)
=
6R
9+t2-R2
=
6
t2+16
-12
4
t2+16
-11
=
3
2
+
9
2
4
t2+16
-11
…(8分)
3
2
+
9
2
4
16
-11
=
3
2
+
9
10
=
12
5
…(9分)
当D为(0,0)时,tan∠APB最大,最大值为
12
5
; …(10分)
(3)设Q(x,0),所以可得tan∠AQB=
2Rx
x2+t2-R2
=
2x
t2+16
-4x
4
t +16
+x2-20
为常数?
2x
4
=
-4x
x2-20
,…(11分)
x=2
3
x=-2
3
或x=0.   …(12分)
但当x=0时,若A、B分别在x轴两旁时,∠AQB=180°,
若A、B都在x轴同旁时,∠AQB=0°,故x=0不合题意,舍去.
所以,存在满足题意的点Q为(2
3
,0)或(-2
3
,0).…(14分)
点评:本题重点考查直线和圆的方程的应用,考查直线的倾斜角与斜率,考查正切函数的单调性,考查存在性问题,有综合性.
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
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32
5
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AC
AQ
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3
,0)

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