Question

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知当0＜x≤e时，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，f（x）在（1，e]内单调递增．当x≥e时，f′(x)=2x+

2

x

＞0恒成立，故f（x）在[e，+∞）内单调递增．由此可知f（x）的单调增区间．
（2）当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

（x≥e），f（x）在[e，+∞）上增函数．当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+a，f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）由此可求出答案．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x²+2|lnx-1|
=

x2-2lnx+2  (0＜x≤e) x2+2lnx-2  (x＞e)

（2分）
当0＜x≤e时，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
f（x）在（1，e]内单调递增；
当x≥e时，f′(x)=2x+

2

x

＞0恒成立，
故f（x）在[e，+∞）内单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（6分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，
f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（8分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+a，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）
当

a 2

≥e，即a≥2e²时，
f′（x）在x∈（1，e）进为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，y_min=f（e）=e²．（14分）
所以函数y=f（x）的最小值为
ymin=

1+a，0＜a≤2 3a 2 - a 2 ln a 2 e2，a≥2e2

，2＜a＜2e2．
由条件得

1+a≥a 0＜a≤2

此时0＜a≤2；
或

3a 2 - a 2 ln a 2 ≥a 2＜a＜2e2

，
此时2＜a≤2e；或

e2≥a a≥2e2

，此时无解．
综上，0＜a≤2e．（16分）

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．