Question

已知f(log2x)=x2-2x+4，x∈[2，4]
（1）求f（x）的解析式及定义域；
（2）若方程f（x）=a有实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令t=log₂x，利用换元法，可求出f（x）的解析式，进而将x反表示为x=2^t，结合x∈[2，4]，求出中间元t的取值范围，即为f（x）的定义域；
（2）根据（1）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质及指数函数的图象和性质，求出函数f（x）值域，可得方程f（x）=a有实数根时，实数a的取值范围．

解答：解：（1）令t=log₂x，则x=2^t，
∵x∈[2，4]
∴t∈[1，2]
由f(log2x)=x2-2x+4得
f（t）=（2^t）²-2•2^t+4=2^2t-2^t+1+4，t∈[1，2]
∴f（x）=2^2x-2^x+1+4，x∈[1，2]
（2）∵f（x）=（2^x-1）²+3，x∈[1，2]
故当x=1时，函数f（x）取最小值4
当x=2时，函数f（x）取最大值12
若方程f（x）=a有实数根，
则a∈[4，12]
即实数a的取值范围为[4，12]

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，函数的定义域及其求法，函数的零点，熟练掌握换元法求解析式的方法与步骤是解答的关键．