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    已知函数f（x）=lg
    1+x
    1-x
    ．
    （1）判断f（x）的奇偶性；
    （2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．
    （3）求证：f（a）+f（b）=f（
    a+b
    1+ab
    ）
    （4）若f（
    a+b
    1+ab
    ）=1，f（
    a-b
    1-ab
    ）=2（-1＜a＜1，-1＜b＜1），求f（a），f（b）的值．
    分析：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，若对称再判断f（-x）与f（x）的关系，易判断函数的奇偶性；
    （2）利用定义法（作差法），任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b，然后判断f（a）与f（b）的大小，结合函数单调性的定义即可得到结论；
    （3）根据函数解析式，及对数的运算性质，分别计算出f（a）+f（b）与f(
    a+b
    1+ab
    )    的值，即可得到结论；
    （4）根据f（
    a+b
    1+ab
    ）=1，f（
    a-b
    1-ab
    ）=2结合（3）的结论，我们易构造一个关于f（a）与f（b）的方程组，解方程组即可得到结论．
    解答：解：（1）∵
    1+x
    1-x
    ＞0
    ∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1）
    ∵定义域关于原点对称
    f（-x）=lg
    1-x
    1+x
    =lg
    1+x
    1-x
    =-f（x）故f（x）为奇函数
    （2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b
    则f（a）-f（b）=lg
    1+a
    1-a
    -lg
    1+b
    1-b
    =lg(
    1+a
    1-a
    ÷
    1+b
    1-b
    )    =lg(
    1+a
    1-a
    •
    1-b
    1+b
    )    ＞0
    即f（a）＞f（b）
    ∴f（x）在（0，1）上为减函数．
    （3）∵f（a）+f（b）=lg
    1+a
    1-a
    +lg
    1+b
    1-b
    =lg
    1+a+b+ab
    1-a-b-ab

    又∵f(
    a+b
    1+ab
    )    =lg
    1+
    a+b
    1+ab
    1-
    a+b
    1+ab
    =lg
    1+a+b+ab
    1-a-b+ab
    ，
    ∴f（a）+f（b）=f(
    a+b
    1+ab
    )
    （4）∵f（a）+f（b）=f(
    a+b
    1+ab
    )
    ∴f（a）+f（b）=1
    f（a）+f（-b）=f(
    a-b
    1-ab
    )    ，
    ∴f（a）+f（-b）=2
    ∵f（-b）=-f（b），
    ∴f（a）-f（b）=2，
    解得：f（a）=
    3
    2
    ，f（b）=-
    1
    2
    ．
    点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性判断，函数的单调性证明，对数的运算性质，抽象函数求值，熟练掌握函数性质的定义是解答本题的关键．
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    （2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．

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    2(x-1)
    x+1
    恒成立；
    （3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
    x1+x2
    2
    时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

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    已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
    1
    f(n)
    }的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=xlnx
    （Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
    （Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    		3
    x
    a
    +
    		3
    (a-1)
    x
    ，a≠0且a≠1．
    （1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
    （2）已知当x＞0时，函数在（0，
    		6
    ）上单调递减，在（
    		6
    ，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
    （3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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