分析 (1)$c=\sqrt{5}$,${S_{△P{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|b=2\sqrt{5}$,解得b,再利用a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$,可得a,即可得出;
(2)由(1)得|QF1|+|QF2|=6,利用椭圆的定义、三角形三边大小关系转化即可得出.
(3)设直线BB1的斜率为k,∵直线BB1与直线BB2关于直线x=1对称,可得直线BB2的斜率为-k,于是直线BB1、BB2的方程,设B1(x1,y1),B2(x2,y2),分别与椭圆的方程联立解得x1,x2,再利用斜率计算公式即可得出.
解答 解:(1)∵$c=\sqrt{5}$,${S_{△P{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|b=2\sqrt{5}$,
∴b=2,
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=3,
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1;
(2)由(1)得|QF1|+|QF2|=6,
∴|QA|-|QF1|=|QA|-(6-|QF2|)=|QA|+|QF2|-6,
而$|{QA}|+|{Q{F_2}}|≥|{A{F_2}}|=\sqrt{{{({4\sqrt{5}-\sqrt{5}})}^2}+{{({6-0})}^2}}=9$,
于是|QA|-|QF1|的最小值为3.
(3)证明:设直线BB1的斜率为k,∵直线BB1与直线BB2关于直线x=1对称,
∴直线BB2的斜率为-k,于是直线BB1的方程为$y-\frac{{4\sqrt{2}}}{3}=k(x-1)$,设B1(x1,y1),B2(x2,y2),
由$\left\{{\begin{array}{l}{y-\frac{{4\sqrt{2}}}{3}=k(x-1)}\\{\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$可得,$({4+9{k^2}})+6k({4\sqrt{2}-3k})x+9{k^2}-24\sqrt{2}k-4=0$,
∵该方程有一个根为x=1,∴${x_1}=\frac{{9{k^2}-24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}$,
同理得${x_2}=\frac{{9{k^2}+24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}$.
∴${k_{{B_1}{B_2}}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{[{k({{x_1}-1})+\frac{{4\sqrt{2}}}{3}}]-[{-k({{x_2}-1})}]+\frac{{4\sqrt{2}}}{3}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k({{x_1}+{x_2}})-2k}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k({\frac{{9{k^2}-24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}+\frac{{9{k^2}+24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}})-2k}}{{\frac{{9{k^2}-24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}-\frac{{9{k^2}+24\sqrt{2}k-4}}{{4+9{k^2}}}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$,
故直线BB1的斜率为定值$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$.
点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、三角形三边大小关系、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (¬s)∧¬p | B. | (¬q)∧s | C. | (¬r)∧p | D. | ¬(q∧p) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $2\sqrt{2}$ | B. | $2\sqrt{2}+1$ | C. | $2\sqrt{2}+2$ | D. | $4\sqrt{2}+1$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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