Question

在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B．
（1）用b和k表示△AOB的面积S_△AOB；
（2）若△AOB的面积S_△AOB=|OA|+|OB|+3．
①用b表示k，并确定b的取值范围；
②求△AOB面积的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,基本不等式在最值问题中的应用

专题：直线与圆

分析：（1）分别求出直线和坐标轴的交点保证即可用b和k表示△AOB的面积S_△AOB；
（2）根据三角形的面积公式，利用基本不等式进行求解即可．

解答： 解：（1）令x=0，得y=b+2（b＞-2）；
令y=0，得x=-

b+2

k

(k＜0)．
点A(-

b+2

k

，0)，B(0，b+2)，
∴S△AOB=

1

2

(b+2)(-

b+2

k

)=-

(b+2)2

2k

…（5分）
（2）①由题意得-

(b+2)2

2k

=-

b+2

k

+b+2+3，
解得k=-

b2+2b

2(b+5)

， ∵k＜0， ∴-

b2+2b

2(b+5)

＜0，
结合b＞-2，解得b＞0．
故k=-

b2+2b

2(b+5)

，b＞0…（10分）
②由①得S_△AOB=-

(b+2)2

2k

=

(b+2)(b+5)

b

=

b2+7b+10

b

=b+

10

b

+7≥2

b• 10 b

+7=7+2

10

，
当且仅当b=

10

b

，即b=

10

时取等号，
故△AOB面积的最小值为7+2

10

．

点评：本题主要考查直线方程的应用，以及三角形面积的计算，利用基本不等式的性质是解决本题的关键．