Question

已知f(x)=2x³-ax²,g₁(x)=f(x),当n≥2且n∈N^*时，g_n(x)=f［g_n-1(x)］.

(1)若f(1)=1且对任意n∈N^*,都有g_n（x₀）=x₀,求所有x₀组成的集合；

（2）若f(1)＞3，是否存在区间A,对n∈N^*,当且仅当x∈A时，就有g_n(x)＜0?如果存在，求出这样的区间A;如果不存在，说明理由.

Answer 1

解析：（1）由f(1)=11=2-aa=1.

∴f(x)=2x³-x².当n=1时，g₁(x₀)

=f(x₀)=2x₀³-x₀²=x₀x₀(2x₀²-x₀-1)=0,

∴x₀=0或x₀=1或x₀=.由题设,g₂(x₀)=f［g₁(x₀)］=f(x₀)=x₀,假设g_k(x₀)=x₀,当n=k+1时，g_k+1(x₀)=f［g_k(x₀)］=f(x₀)=x₀,

∴g_n(x₀)=x₀对n=k+1时也成立.

∴当x₀满足g₁(x₀)=x₀时，就有g_n(x₀)=x₀.

∴所有x₀组成的集合为{0,1,}.

(2)若f(1)=2-a＞3a＜-1.令g₁(x)=f(x)=2x³-ax²＜0,得x²(2x-a)＜0x＜,对于n≥2,g_n(x)＜0f［g_n-1(x)］＜0g_n-1(x)＜.

∴若对n∈N^*有g_n(x)＜0,必须且只需g₁(x)＜0.∴A=(-∞,).