Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）当a=

1

4

时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将a=

1

4

时代入函数f（x）解析式，求出函数f（x）的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与f′（x）的符号及f（x）的单调性情况表，从表就可得到函数f（x）的极值；
（Ⅱ）由题意首先求得：f′(x)=

x[2ax-(1-2a)]

x+1

，故应按a＜0，a=0，a＞0分类讨论：当a≤0时，易知函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而当b∈（0，1）时f（b）＜f（0），则不存在实数b∈（1，2），符合题意；当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或x=

1

2a

-1，又要按根x=

1

2a

-1大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f（x）x∈（-1，b]的最大值，使其最大值恰为f（b），分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．

解答： 解：（Ⅰ）当a=

1

4

时，f(x)=ln(x+1)+

1

4

x2-x，
则f′(x)=

1

x+1

+

1

2

x-1，化简得f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），
列表如下：

x	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数f（x）在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，
f（1）=ln2-

3

4

，
∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为ln2-

3

4

，在x=0处取到极大值为0；

（Ⅱ）由题意f′(x)=

x[2ax-(1-2a)]

x+1

，
（1）当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b）； 
（2）当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或x=

1

2a

-1，
①当

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

时，函数f（x）在（-1，

1

2a

-1）和（0，+∞）上单调递增，
在（

1

2a

-1，0）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，
函数f（x）的最大值为f（b），则f（

1

2a

-1）＜f（1），代入化简得ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0，
令g(a)=ln2a+

1

4a

+ln2-1（a＞

1

2

），
∵g′(x)=

1

a

(1-

1

4a

)＞0恒成立，故恒有g(a)＞g(

1

2

)=ln2-

1

2

＞0，
∴a＞

1

2

时，ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0恒成立；
②当

1

2a

-1＞0，即0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（-1，0）和（

1

2a

-1，+∞）上单调递增，
在（0，

1

2a

-1）上单调递减，此时由题，只需

1 2a -1≤1 f(1)≥0

，解得a≥1-ln2，
又1-lna＜

1

2

，
∴此时实数a的取值范围是1-ln2≤a＜

1

2

；
③当a=

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，显然符合题意．
综上，实数a的取值范围是[1-ln2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能力，属难度较大的题目．