某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO.且AB⊥BC.OA∥BC.AB=BC=4km.AO=2km.曲线段OC是以O为顶点.开口向上.且对称轴平行于AB的抛物线的一段．当地政府为科技兴市.欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN.矩形的相邻两边BM.BN分别落在AB.BC上.顶点P在曲线段OC上．问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大?并求出最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO，且AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以O为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB的抛物线的一段．当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN，矩形的相邻两边BM，BN分别落在AB，BC上，顶点P在曲线段OC上．问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km²）．

分析求出曲线OC的方程，设出P点坐标，用P点坐标表示出矩形的面积函数，求出面积函数的最大值．

解答解：以O为原点，直线AO为x轴，且以1 km为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系，于是C（2，4），B（-2，4）．
设曲线段OC所在抛物线方程为x²=2py（p＞0），
于是2²=2p×4，得2p=1．所以曲线段OC所在抛物线方程为x²=y．
设P（x，x²）（0≤x＜2），则M（-2，x²），N（x，4），MP=x+2，PN=4-x²，
∴矩形PMBN的面积S（x）=MP•PN=（x+2）（4-x²）=-x³-2x²+4x+8（0≤x＜2），
$S'=-3{x^2}-4x+4=-3（x+2）（{x-\frac{2}{3}}）$，令S'=0得$x=\frac{2}{3}$或x=-2（舍）．
当$x∈（{0，\;\;\frac{2}{3}}）$时，S'＞0，∴函数S在$（{0，\;\;\frac{2}{3}}）$内是单调增函数；
当$x∈（{\frac{2}{3}，\;\;2}）$时，S'＜0，∴函数S在$（{\frac{2}{3}，\;\;2}）$内是单调减函数．
∴$x=\frac{2}{3}$时，S（x）取得最大值S（$\frac{3}{2}$）=$\frac{256}{27}$≈9.5．
故选取P点距AB距离约为2.7 km时，能使矩形园区的用地面积最大，最大面积约为9.5 km²．

点评本题考查了导数与函数的单调性，函数最值之间的关系，求出矩形的面积函数是解题关键．

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