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如图,直线AM与圆相切于点M,ABC与ADE是圆的两条割线,且BD⊥AD,连接MD、EC.则下面结论中,错误的结论是( )

A.∠ECA=90°
B.∠CEM=∠DMA+∠DBA
C.AM2=AD•AE
D.AD•DE=AB•BC
【答案】分析:A.利用圆的内接四边形的性质可得∠BDE+∠BCE=180°,再利用已知即可判断出;
B.利用弦切角定理可得∠AMD=∠MED;由四边形BDEC是圆的内接四边形∠ABD=∠CED,即可判断出答案;
C.由切割线定理可得AM2=AD•AE,即可判断出;
D.利用排除法,或割线定理得AD•AE=AB•AC,进而得到AD•DE-AB•BC=AB2-AD2,而AB与AD不一定相等,据此判断出.
解答:解:A.∵四边形BDEC是圆的内接四边形,∴∠BDE+∠BCE=180°,∵∠BDE=90°,∴∠BCE=90°,故A正确;
B..∵直线AM与圆相切于点M,由弦切角定理可得∠AMD=∠MED;由四边形BDEC是圆的内接四边形,∴∠ABD=∠CED,∴∠CEM=∠MED+∠CED=∠DMA+DBA,故正确;
C.∵直线AM与圆相切于点M,由切割线定理可得AM2=AD•AE,故C正确;
D.由割线定理得AD•AE=AB•AC,∴AD•(AD+DE)=AB•(AB+BC),∴AD•DE-AB•BC=AB2-AD2,而AB与AD不一定相等,故错误.
故选D.
点评:熟练掌握圆的内接四边形的性质、弦切角定理、切割线定理、割线定理是解题的关键.
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  1. A.
    ∠ECA=90°
  2. B.
    ∠CEM=∠DMA+∠DBA
  3. C.
    AM2=AD•AE
  4. D.
    AD•DE=AB•BC

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