Question

如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，∠BCD=α（0＜α＜

π

2

）．把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD．
（1）求点B′到平面ACD的距离（用α表示）；
（2）当AD⊥B′C时，求三棱锥B′-ACD的体积．

Answer 1

分析：（1）先作出表示点B′到平面ACD的距离的线段，再用三角函数求解即可；
（2）先计算S_△ACD=

1

2

•

1

2

AC•BC=

1

4

，B′E=sin

π

4

=

2

2

，进而可求V_B′-ACD=

1

3

•

1

4

•

2

2

=

2

24

．

解答：解：（1）作B′E⊥CD于E．
∵平面B′CD⊥平面ACD，
∴B′E⊥平面ACD．
∴B′E的长为点B′到平面ACD的距离．
B′E=B′C•sinα=sinα．
（2）∵B′E⊥平面ACD，
∴CE为B′C在平面ACD内的射影．
又AD⊥B′C，∴AD⊥CD（CE）．
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，
∴D为AB中点，且α=

π

4

．
∴S_△ACD=

1

2

•

1

2

AC•BC=

1

4

，B′E=sin

π

4

=

2

2

．
∴V_B′-ACD=

1

3

•

1

4

•

2

2

=

2

24

．

点评：本题以平面图形的翻折为载体，考查点到面的距离，考查三棱锥的体积，作出表示点B′到平面ACD的距离的线段是关键．