Question

4．已知a，b，c为锐角△ABC的内角A，B，C的对边，满足acosA+bcosB=c，
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求$\frac{3{b}^{2}+b+4c}{a}$的范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosA与cosB，代入已知等式整理得到a=b，即可得证；
（2）设三角形ABC外接圆半径为R，由圆的面积公式求出R的值，所求式子利用正弦定理化简，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可．

解答 （1）证明：由acosA+bcosB=c，利用余弦定理化简得：a•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+b•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=c，
整理得：a²（b²+c²-a²）+b²（a²+c²-b²）=2abc²，即（a-b）²[c²-（a+b）²]=0，
∵c＜a+b，∴c²≠（a+b）²，
∴a=b，
则△ABC为等腰三角形；
（2）解：设△ABC的外接圆半径为R，由πR²=π，得到R=1，
由（1）得：A=B，
由正弦定理得：$\frac{3{b}^{2}+b+4c}{a}$=$\frac{12{R}^{2}si{n}^{2}B+2RsinB+8RsinC}{2RsinA}$=$\frac{6si{n}^{2}B+sinB+8sinBcosB}{sinB}$=6sinB+1+8cosB=10sin（B+θ）+1，
记为f（B），其中sinθ=$\frac{4}{5}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosθ=$\frac{3}{5}$，且θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜C=π-A-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
结合A=B，得到$\frac{π}{4}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴B+θ∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴f（B）在$\frac{π}{4}$＜B＜$\frac{π}{2}$上单调递减，
当B=$\frac{π}{2}$时，f（B）=10sin（$\frac{π}{2}$+θ）+1=10cosθ+1=7；
当B=$\frac{π}{4}$时，f（B）=10sin（$\frac{π}{4}$+θ）+1=10×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）+1=7$\sqrt{2}$+1，
∴f（B）∈（7，7$\sqrt{2}$+1），即$\frac{3{b}^{2}+b+4c}{a}$∈（7，7$\sqrt{2}$+1）．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．