Question

【题目】已知函数,,其中.

(Ⅰ) 判断函数在上的单调性；

(Ⅱ) 设函数的定义域为,且有极值点.

(ⅰ) 试判断当时, 是否满足题目的条件,并说明理由；

(ⅱ) 设函数的极小值点为,求证: .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) (ⅰ)满足 ，理由见解析 (ⅱ)见解析.

【解析】

(Ⅰ)求，根据导数与函数单调性的关系，结合参数b的取值范围，分类讨论函数在上的单调性；

(Ⅱ) (ⅰ)代入b=2，求得，可判断定义域满足题目的条件，再利用零点存在性定理，判断函数有极点；

(ⅱ)先根据满足题目条件，求出b的取值范围，以及b关于x的函数式，并判断有两个极值点，再根据取极小值时函数式构造函数，利用导数和x0的取值范围，证明不等式成立.

(Ⅰ),

若,则,故在上递增；

若,由解得,,

当,解得,此时当,,时,,结合时，x=

所以在上单调递减,在上单调递增.

当时,解得,由得,由得-2<或,结合时，x=所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，在上单调递减,在上单调递增；

当时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增；其中,

(Ⅱ).

(ⅰ)当时,,此时的定义域为,

,又,

所以在上有变号，有零点,

所以有极值,即时,满足题目的条件.

(ⅱ),因为的定义域为,故,即.

,令,得,设,

则,当时,,递增,当时,,递减,

所以,所以,即时，满足的定义域为R且有极点.此时有且只有两个变号零点,一个为的极大值点,一个为极小值点,且极小值点大于,

故且唯一,又,

设,则,所以在上递增,

又4>,所以,结合函数单调性，可判断0<,

所以.