Question

15．如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点，PE是圆O的切线，CP平分∠APE，分别与AE、BE交于点C，D．
求证：（1）CE=DE；  
（2）$\frac{CA}{CE}$=$\frac{PE}{PB}$．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得∠A=∠BEP，由角平分线性质得到∠ECD=∠EDC，由此能证明EC=ED．
（2）由已知条件推导出△PBD∽△PEC，△PDE∽△PCA，由此能证明$\frac{CA}{CE}$=$\frac{PE}{PB}$．

解答 证明：（1）∵PE是圆O的切线，∴∠A=∠BEP，
∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE，
∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE，
∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED．
（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD，∠PDB=∠PCE，
∴∠BPD=∠EPC，∴△PBD∽△PEC，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PC}{PD}$，
同理，△PDE∽△PCA，∴$\frac{PC}{PD}=\frac{CA}{DE}$，
∴$\frac{CA}{CE}$=$\frac{PE}{PB}$．

点评 本题考查两条线段相等的证明，考查线段比值相等的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意弦切角定理和三角形相似的性质定理的合理运用．