Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其中一个焦点为F（2，0），且F到一条渐近线的距离为

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在抛物线y²=-2x上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意

c=2 b= 3

，解得：a=1，c=2，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设中点为M，有

x 2 1 - y 2 1 3 =1 x 2 2 - y 2 2 3 =1

，由此能求出m的值．

解答：解：（1）由题意

c=2 b= 3

解得：a=1，c=2，
∴b²=3
方程为：x2-

y2

3

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设中点为M
有

x 2 1 - y 2 1 3 =1 x 2 2 - y 2 2 3 =1

，
得：

y1-y2

x1-x2

=

3(x1+x2)

y1+y2

=

3×2x中

y中

=

3

kOM

，
即：k_OM=3
由

y=3x y2=-2x

，
得：M（0，0）或（-

2

9

，-

2

3

）
从而m=0或-

4

9

．

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．