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14.设向量$\overrightarrow{a}$=(sin$\frac{π}{2}$x,cos$\frac{π}{2}$x),$\overrightarrow{b}$=(sin$\frac{π}{2}$x,$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x),x∈R,函数f(x)=$\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})$,求:
(1)f(x)的最小正周期;
(2)f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值.

分析 (1)由平面向量的数量积运算,利用三角函数的恒等变换化简f(x),即可求出f(x)的最小正周期;
(2)根据x∈[0,1],利用正弦函数的图象与性质,即可求出f(x)的最值以及对应的x的取值.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{a}$=(sin$\frac{π}{2}$x,cos$\frac{π}{2}$x),$\overrightarrow{b}$=(sin$\frac{π}{2}$x,$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x),x∈R,
∴f(x)=$\overrightarrow{a}•(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})$
=(sin$\frac{π}{2}$x,cos$\frac{π}{2}$x)•(3sin$\frac{π}{2}$x,cos$\frac{π}{2}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x)
=3sin2$\frac{π}{2}$x+(cos$\frac{π}{2}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x)cos$\frac{π}{2}$x
=$\sqrt{3}$sinπx-cosπx+2
=2sin(πx-$\frac{π}{6}$)+2,
∴f(x)的最小正周期为T=$\frac{2π}{π}$=2;
(2)∵x∈[0,1],∴πx-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$],
∴sin(πx-$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1];
当πx-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$,即x=0时,f(x)取得最小值为2×(-$\frac{1}{2}$)+2=1,
当πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,即x=$\frac{2}{3}$时,f(x)取得最大值为2×1+2=4.

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换问题,也考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,是综合性题目.

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