Question

如图，在矩形ABCD中，AB=

3

，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）若在边BC上存在点Q，且使得PQ⊥QD，求a的取值范围；
（2）当BC边上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求异面直线AQ与PD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．可得B、C、D、P各点的坐标，设Q的坐标为（t，

3

，0），可得

PQ

、

DQ

关于a、t的坐标，由

PQ

•

DQ

=0，建立关于a、t的关系式得t²-at+3=0，由根的判别式即可解出实数a的范围；
（2）根据点Q唯一，结合（1）的结论得a=2

3

且t=

3

，由此可得

AQ

、

PD

的坐标，利用空间向量的夹角公式算出cos＜

AQ

，

PD

＞=

42

14

，即可得到异面直线AQ与PD所成角的大小．

解答：解：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则B（0，

3

，0），C（a，

3

，0），D（a，0，0），
P（0，0，4）
设Q（t，

3

，0），可得

PQ

=（t，

3

，-4），

DQ

=（t-a，

3

，0）
∵PQ⊥DQ，∴

PQ

•

DQ

=t（t-a）+3=0，即t²-at+3=0
因此，△=a²-12≥0，解之得a≥2

3

；
（2）∵边BC上存在唯一的点Q，使得PQ⊥QD，
∴由（1）得a=2

3

，t=

3

可得Q（

3

，

3

，0），

AQ

=（

3

，

3

，0），

PD

=（2

3

，0，-4）
∴cos＜

AQ

，

PD

＞=

AQ • PD

|AQ| • |PD|

=

6

6 •2 7

=

42

14

因此，异面直线AQ与PD所成角的大小为arccos

42

14

．

点评：本题给出底面为矩形的线面垂直的几何体，探索满足条件的线线垂直并依此求异面直线所成角．着重考查了利用空间向量研究线线垂直和求异面直线所成角的大小等知识，属于中档题．