Question

4．设m＞0，n＞0，x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{mx-y≥0}\\{x+ny≥0}\\{x≤1}\end{array}\right.$．若nx+y的最大值为2，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为2．

Answer 1

分析 画出不等式组表示的可行域，作出直线l₀：y=-nx，平移直线，经过点（1，m）取得最大值2，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：画出不等式组表示的可行域，如图：
作出直线l₀：y=-nx，
平移直线，当经过点A（1，m）时，
nx+y取得最大值，且为n+m，
由题意可得m+n=2，m，n＞0，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$）
=$\frac{1}{2}$×（2+2）=2．当且仅当m=n=1时，取得最小值，且为2．
故答案为：2．

点评 本题考查简单线性规划的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，注意乘1法，考查运算能力，属于中档题．