Question

数列{b_n}是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）若a_n=log₂b_n+3，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤42，求m的最大值．

Answer 1

分析：（I）由b₁+b₃=5，b₁b₃=4，根据韦达定理得到b₁，b₃是一个方程的两根，写出这个方程，求出方程的解即可得到满足题意的b₁和b₃的解，根据等比数列的性质可得b₂²=b₁b₃求出b₂的值，然后根据求出的前三项得到等比数列的公比，根据首项和公比写出等比数列的通项公式即可；
（II）把第一问求得的数列{b_n}的通项公式代入到a_n=log₂b_n+3中，根据对数的运算法则化简可得a_n的通项公式，得到数列{a_n}是等差数列，然后根据首项和公差写出数列的前m项和的公式，把前m项和的公式代入已知的不等式中，得到关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围，根据范围找出m的最大值即可．

解答：解：（I）由

b1b3=4 b1+b3=5

知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的两根，
注意到b_n+1＞b_n得b₁=3，b₃=4
∴b₂²=b₁b₃=4得b₂=2．
∴b₁=1，b₂=2，b₃=4
∴等比数列{b_n}的公比为

b2

b1

=2，
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（II）a_n=log₂b_n+3=log₂a^n-1+3=n-1+3=n+2，
∵a_n+1-a_n=[（n+1）+2]-[n+2]=1，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列．
a₁+a₂+a₂+…+a_m=m×3+

m(m-1)

2

×1=3m+

m2-m

2

≤42
整理得m²+5m-84≤0，解得-12≤m≤7，
∴m的最大值是7．

点评：此题考查了等比数列的性质，灵活运用等比、等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题．