Question

18．已知函数f（x）=xln（x-1）-a，下列说法正确的是（　　）

• A． 当a＞0时，f（x）有零点x₀，且x₀∈（1，2）
• B． 当a＞0时，f（x）有零点x₀，且x₀∈（2，+∞）
• C． 当a=0时，f（x）没有零点
• D． 当a＜0时，f（x）有零点x₀，且x₀∈（2，+∞）

Answer 1

分析 设g（x）=xln（x-1），确定函数在（1，+∞）上单调递增，g（2）=0，即可得出结论．

解答 解：设g（x）=xln（x-1），则g′（x）=ln（x-1）+$\frac{x}{x-1}$，
∴g″（x）=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
∴1＜x＜2，g″（x）＜0，x＞2，g″（x）＞0，
∴g′（x）≥g′（2）=2＞0，
∴函数在（1，+∞）上单调递增，
∵g（2）=0，
∴当a＞0时，f（x）有零点x₀，且x₀∈（2，+∞），
故选：B．

点评 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，属于中档题．